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増田算額「プラトンの立体~」

GEOBALLS(ジオボール)プラトンとアルキメデス18の装飾多面体キット(解説書付)7歳から



問題

プラトンの立体*1の体積が等しい時、辺の長さがもっとも短くなるのはどれか。


 辺を\(a\)とすると体積の概数は


正 4面体: \(0.118a^{3}\)
正 6面体: \(a^{3}\)
正 8面体: \(0.471a^{3}\)
正12面体: \(7.663a^{3}\)
正20面体: \(2.182a^{3}\)


こうなってる。


 体積が全部同じなので、適当に\(V\)とする。


正 4面体: \(0.118a^{3} = V\)
正 6面体: \(a^{3} = V\)
正 8面体: \(0.471a^{3} = V\)
正12面体: \(7.663a^{3} = V\)
正20面体: \(2.182a^{3} = V\)


あとは\(a^{3}\)を求めて、一番小さいものを探せばいい。


正 4面体: \(a^{3} = \frac{V}{0.118} = 8.475V \)
正 6面体: \(a^{3} = V \)
正 8面体: \(a^{3} = \frac{V}{0.471} = 2.123V \)
正12面体: \(a^{3} = \frac{V}{7.663} = 0.13V \)
正20面体: \(a^{3} = \frac{V}{2.182} = 0.458V \)


一番小さい\(a^{3}\)は\(0.13V \)で正12面体。


よって、プラトンの立体の体積が等しい時、辺の長さがもっとも短くなるのは正12面体。