『変な計算』をちょっとやってみた

$fraction pieces$ fraction pieces / jimmiehomeschoolmom

作者: イアン・スチュアート,水谷淳
出版社/メーカー: ソフトバンククリエイティブ
発売日: 2010/02/25
メディア: 単行本
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この本に出てきた問題の一つにこんなのがあった。

そこには、
$\frac{1}{4}\times\frac{8}{5}=\frac{18}{45}$
と書いてあった。するとヘンリーが、「でも先生、どこが間違っているんですか？電卓で検算したら合ってました」と口答えした。*1

　このヘンリーがやったように分母どうし、分子どうしで単純にくっつけただけで式が成立するような、そんな組み合わせをすべて見つけよ、という問題。

　とりあえず整理してみると、
$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{10a+c}{10b+d}$
$\frac{ac}{bd}=\frac{10a+c}{10b+d}$
$ac(10b+d)=bd(10a+c)$
こうなる。

　めんどくさいのでC#で計算してみると、やたら沢山でてきた。
a=b,c=dになってるもの($\frac{a}{a}\times\frac{c}{c}=\frac{ac}{ac}=1$になる)を除外すると、

$\frac{1}{2}\times\frac{5}{4}=\frac{15}{24}$
$\frac{1}{4}\times\frac{8}{5}=\frac{18}{45}$
$\frac{1}{6}\times\frac{4}{3}=\frac{14}{63}$
$\frac{1}{6}\times\frac{6}{4}=\frac{16}{64}$
$\frac{1}{9}\times\frac{9}{5}=\frac{19}{95}$
$\frac{2}{1}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{15}$
$\frac{2}{6}\times\frac{6}{5}=\frac{26}{65}$
$\frac{4}{1}\times\frac{5}{8}=\frac{45}{18}$
$\frac{4}{9}\times\frac{9}{8}=\frac{49}{98}$
$\frac{6}{1}\times\frac{3}{4}=\frac{63}{14}$
$\frac{6}{1}\times\frac{4}{6}=\frac{64}{16}$
$\frac{6}{2}\times\frac{5}{6}=\frac{65}{26}$
$\frac{9}{1}\times\frac{5}{9}=\frac{95}{19}$
$\frac{9}{4}\times\frac{8}{9}=\frac{98}{49}$
全部で14個。

　見てると不思議なのは、前の分数に3,5,7,8が、後ろの分数に1,2,7が出てこない。
なぜその数字が表れないのかはわからない(素数になって通分できなくなるからとか？)

　ついでに3項バージョンもやってみることにした。*2
式は、
$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\times\frac{e}{f}=\frac{100a+10c+e}{100b+10d+f}$
さっきと同じようにa=b,c=d,e=fを除外して総当たり合戦。

$\frac{1}{1}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{4}=\frac{135}{144}$
$\frac{1}{1}\times\frac{3}{8}\times\frac{8}{4}=\frac{138}{184}$
$\frac{1}{1}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{144}{135}$
$\frac{1}{1}\times\frac{4}{8}\times\frac{8}{5}=\frac{148}{185}$
$\frac{1}{1}\times\frac{8}{3}\times\frac{4}{8}=\frac{184}{138}$
$\frac{1}{1}\times\frac{8}{4}\times\frac{5}{8}=\frac{185}{148}$
$\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}=\frac{116}{232}$
$\frac{1}{2}\times\frac{2}{1}\times\frac{4}{7}=\frac{124}{217}$
$\frac{1}{2}\times\frac{6}{6}\times\frac{5}{4}=\frac{165}{264}$
$\frac{1}{2}\times\frac{7}{6}\times\frac{8}{7}=\frac{178}{267}$
$\frac{1}{2}\times\frac{8}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{183}{244}$
$\frac{1}{2}\times\frac{8}{4}\times\frac{6}{8}=\frac{186}{248}$
$\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}\times\frac{9}{4}=\frac{129}{344}$
$\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{8}{5}=\frac{138}{345}$
$\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{161}{322}$
$\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}\times\frac{2}{4}=\frac{162}{324}$
$\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}\times\frac{3}{6}=\frac{163}{326}$
$\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}\times\frac{4}{8}=\frac{164}{328}$
$\frac{1}{3}\times\frac{8}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{184}{345}$
$\frac{1}{4}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{5}=\frac{145}{435}$
$\frac{1}{4}\times\frac{6}{4}\times\frac{8}{8}=\frac{168}{448}$
$\frac{1}{4}\times\frac{6}{9}\times\frac{4}{2}=\frac{164}{492}$
$\frac{1}{4}\times\frac{8}{2}\times\frac{3}{7}=\frac{183}{427}$
$\frac{1}{4}\times\frac{8}{6}\times\frac{6}{5}=\frac{186}{465}$
$\frac{1}{4}\times\frac{9}{9}\times\frac{8}{5}=\frac{198}{495}$
$\frac{1}{5}\times\frac{2}{2}\times\frac{6}{5}=\frac{126}{525}$
$\frac{1}{6}\times\frac{2}{1}\times\frac{3}{5}=\frac{123}{615}$
$\frac{1}{6}\times\frac{2}{7}\times\frac{8}{2}=\frac{128}{672}$
$\frac{1}{6}\times\frac{6}{6}\times\frac{6}{4}=\frac{166}{664}$
$\frac{1}{7}\times\frac{2}{6}\times\frac{7}{2}=\frac{127}{762}$
$\frac{1}{7}\times\frac{6}{8}\times\frac{8}{4}=\frac{168}{784}$
$\frac{1}{7}\times\frac{8}{4}\times\frac{7}{8}=\frac{187}{748}$
$\frac{1}{8}\times\frac{8}{1}\times\frac{2}{9}=\frac{182}{819}$
$\frac{1}{9}\times\frac{3}{7}\times\frac{9}{3}=\frac{139}{973}$
$\frac{1}{9}\times\frac{4}{4}\times\frac{7}{5}=\frac{147}{945}$
$\frac{1}{9}\times\frac{9}{9}\times\frac{9}{5}=\frac{199}{995}$
$\frac{2}{1}\times\frac{1}{2}\times\frac{7}{4}=\frac{217}{124}$
$\frac{2}{1}\times\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}=\frac{232}{116}$
$\frac{2}{1}\times\frac{4}{8}\times\frac{4}{3}=\frac{244}{183}$
$\frac{2}{1}\times\frac{4}{8}\times\frac{8}{6}=\frac{248}{186}$
$\frac{2}{1}\times\frac{6}{6}\times\frac{4}{5}=\frac{264}{165}$
$\frac{2}{1}\times\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}=\frac{267}{178}$
$\frac{2}{3}\times\frac{8}{7}\times\frac{8}{8}=\frac{288}{378}$
$\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}=\frac{216}{432}$
$\frac{2}{4}\times\frac{4}{2}\times\frac{4}{7}=\frac{244}{427}$
$\frac{2}{4}\times\frac{4}{6}\times\frac{8}{5}=\frac{248}{465}$
$\frac{2}{5}\times\frac{7}{7}\times\frac{6}{5}=\frac{276}{575}$
$\frac{2}{6}\times\frac{6}{6}\times\frac{6}{5}=\frac{266}{665}$
$\frac{2}{6}\times\frac{8}{8}\times\frac{5}{4}=\frac{285}{684}$
$\frac{2}{7}\times\frac{7}{2}\times\frac{3}{8}=\frac{273}{728}$
$\frac{2}{9}\times\frac{1}{8}\times\frac{8}{1}=\frac{218}{981}$
$\frac{2}{9}\times\frac{3}{4}\times\frac{6}{4}=\frac{236}{944}$
$\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}\times\frac{2}{1}=\frac{322}{161}$
$\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}\times\frac{4}{2}=\frac{324}{162}$
$\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}\times\frac{6}{3}=\frac{326}{163}$
$\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}\times\frac{8}{4}=\frac{328}{164}$
$\frac{3}{1}\times\frac{4}{2}\times\frac{4}{9}=\frac{344}{129}$
$\frac{3}{1}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{8}=\frac{345}{138}$
$\frac{3}{1}\times\frac{4}{8}\times\frac{5}{4}=\frac{345}{184}$
$\frac{3}{2}\times\frac{7}{8}\times\frac{8}{8}=\frac{378}{288}$
$\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}\times\frac{8}{4}=\frac{318}{424}$
$\frac{3}{4}\times\frac{2}{9}\times\frac{8}{2}=\frac{328}{492}$
$\frac{3}{6}\times\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}=\frac{316}{632}$
$\frac{3}{6}\times\frac{6}{3}\times\frac{4}{7}=\frac{364}{637}$
$\frac{3}{7}\times\frac{1}{4}\times\frac{8}{2}=\frac{318}{742}$
$\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}\times\frac{7}{2}=\frac{327}{872}$
$\frac{4}{1}\times\frac{2}{8}\times\frac{7}{3}=\frac{427}{183}$
$\frac{4}{1}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{5}=\frac{435}{145}$
$\frac{4}{1}\times\frac{4}{6}\times\frac{8}{8}=\frac{448}{168}$
$\frac{4}{1}\times\frac{6}{8}\times\frac{5}{6}=\frac{465}{186}$
$\frac{4}{1}\times\frac{9}{6}\times\frac{2}{4}=\frac{492}{164}$
$\frac{4}{1}\times\frac{9}{9}\times\frac{5}{8}=\frac{495}{198}$
$\frac{4}{2}\times\frac{2}{4}\times\frac{7}{4}=\frac{427}{244}$
$\frac{4}{2}\times\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}=\frac{432}{216}$
$\frac{4}{2}\times\frac{6}{4}\times\frac{5}{8}=\frac{465}{248}$
$\frac{4}{3}\times\frac{2}{1}\times\frac{4}{8}=\frac{424}{318}$
$\frac{4}{3}\times\frac{9}{2}\times\frac{2}{8}=\frac{492}{328}$
$\frac{4}{5}\times\frac{5}{4}\times\frac{5}{6}=\frac{455}{546}$
$\frac{4}{7}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{1}=\frac{412}{721}$
$\frac{4}{7}\times\frac{2}{4}\times\frac{4}{2}=\frac{424}{742}$
$\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}\times\frac{6}{3}=\frac{436}{763}$
$\frac{4}{7}\times\frac{4}{8}\times\frac{8}{4}=\frac{448}{784}$
$\frac{4}{8}\times\frac{1}{3}\times\frac{6}{2}=\frac{416}{832}$
$\frac{4}{8}\times\frac{8}{4}\times\frac{4}{7}=\frac{484}{847}$
$\frac{4}{9}\times\frac{9}{9}\times\frac{9}{8}=\frac{499}{998}$
$\frac{5}{1}\times\frac{2}{2}\times\frac{5}{6}=\frac{525}{126}$
$\frac{5}{2}\times\frac{7}{7}\times\frac{5}{6}=\frac{575}{276}$
$\frac{5}{4}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}=\frac{546}{455}$
$\frac{5}{6}\times\frac{4}{5}\times\frac{5}{4}=\frac{545}{654}$
$\frac{6}{1}\times\frac{1}{2}\times\frac{5}{3}=\frac{615}{123}$
$\frac{6}{1}\times\frac{6}{6}\times\frac{4}{6}=\frac{664}{166}$
$\frac{6}{1}\times\frac{7}{2}\times\frac{2}{8}=\frac{672}{128}$
$\frac{6}{2}\times\frac{6}{6}\times\frac{5}{6}=\frac{665}{266}$
$\frac{6}{2}\times\frac{8}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{684}{285}$
$\frac{6}{3}\times\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}=\frac{632}{316}$
$\frac{6}{3}\times\frac{3}{6}\times\frac{7}{4}=\frac{637}{364}$
$\frac{6}{5}\times\frac{5}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{654}{545}$
$\frac{6}{8}\times\frac{1}{2}\times\frac{8}{4}=\frac{618}{824}$
$\frac{7}{1}\times\frac{4}{8}\times\frac{8}{7}=\frac{748}{187}$
$\frac{7}{1}\times\frac{6}{2}\times\frac{2}{7}=\frac{762}{127}$
$\frac{7}{1}\times\frac{8}{6}\times\frac{4}{8}=\frac{784}{168}$
$\frac{7}{2}\times\frac{2}{7}\times\frac{8}{3}=\frac{728}{273}$
$\frac{7}{3}\times\frac{4}{1}\times\frac{2}{8}=\frac{742}{318}$
$\frac{7}{4}\times\frac{2}{1}\times\frac{1}{2}=\frac{721}{412}$
$\frac{7}{4}\times\frac{4}{2}\times\frac{2}{4}=\frac{742}{424}$
$\frac{7}{4}\times\frac{6}{3}\times\frac{3}{6}=\frac{763}{436}$
$\frac{7}{4}\times\frac{8}{4}\times\frac{4}{8}=\frac{784}{448}$
$\frac{8}{1}\times\frac{1}{8}\times\frac{9}{2}=\frac{819}{182}$
$\frac{8}{3}\times\frac{7}{2}\times\frac{2}{7}=\frac{872}{327}$
$\frac{8}{4}\times\frac{3}{1}\times\frac{2}{6}=\frac{832}{416}$
$\frac{8}{4}\times\frac{4}{8}\times\frac{7}{4}=\frac{847}{484}$
$\frac{8}{6}\times\frac{2}{1}\times\frac{4}{8}=\frac{824}{618}$
$\frac{9}{1}\times\frac{4}{4}\times\frac{5}{7}=\frac{945}{147}$
$\frac{9}{1}\times\frac{7}{3}\times\frac{3}{9}=\frac{973}{139}$
$\frac{9}{1}\times\frac{9}{9}\times\frac{5}{9}=\frac{995}{199}$
$\frac{9}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{6}=\frac{944}{236}$
$\frac{9}{2}\times\frac{8}{1}\times\frac{1}{8}=\frac{981}{218}$
$\frac{9}{4}\times\frac{9}{9}\times\frac{8}{9}=\frac{998}{499}$
Count:118

　一気に増えた…。
一応、$\frac{3}{3}$,$\frac{7}{9}$,$\frac{9}{7}$が無いのはわかってる。

　なんか法則性みたいなものが分かれば面白いんだけどな。

使ったソースコードはこちら。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
using System.Diagnostics;

namespace ConsoleApplication1
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int max = 9;
            int start = 1;
            int count = 0;
            int a, b, c, d, e, f;

            for (a = start; a <= max; a++)
            {
                for(b = start; b <= max; b++)
                {
                    for(c = start; c <= max; c++)
                    {
                        for (d = start; d <= max; d++)
                        {
                            for (e = start; e <= max; e++)
                            {
                                for (f = start; f <= max; f++)
                                {
                                    if (a == b && c == d && e == f) break;

                                    int r1 = a * c * e * (100 * b + 10 * d + f);
                                    int r2 = b * d * f * (100 * a + 10 * c + e);

                                    if (r1 == r2)
                                    {
                                        int ru = 100 * a + 10 * c + e;
                                        int rd = 100 * b + 10 * d + f;

                                        string s = string.Format(@"\(\frac{{{0}}}{{{1}}}\times\frac{{{2}}}{{{3}}}\times\frac{{{4}}}{{{5}}}=\frac{{{6}}}{{{7}}}\)", a, b, c, d, e, f, ru, rd);
                                        
                                        Debug.WriteLine(s);
                                        count++;
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
            Debug.WriteLine("Count:" + count);
        }
    }
}